En 1924, il rejoint les équipes d'âge d'Anderlecht. En 1932, il fait son entrée en équipe première du club comme bac gauche. Vanden Stock participa donc en 1935 à la montée des Bruxellois en Division d'honneur. Depuis lors, Anderlecht n'a plus jamais quitté l'élite du championnat de Belgique de football.
En 1938, il signe son transfert pour l'Union Saint-Gilloise. En 1943, il décide de s'occuper à plein temps de la brasserie Belle-Vue, une entreprise appartenant à son père Philémon Vanden Stock.
En 1944, il reprend les rênes de la brasserie lorsque son père décède en captivité en Allemagne. Il fait de cette entreprise un petit empire brassicole qu'il revend en 1991 à Interbrew, l'actuelle société Inbev.
Parallèlement, il occupe durant un an la fonction de président du club de La Forestoise (1951-1952), pour vite revenir à Anderlecht en tant qu'administrateur.
Il devient en 1958 sélectionneur unique de l'équipe nationale de football. Pendant dix ans, il dirige les Diables Rouges et devient directeur technique au FC Brugeois pendant un an.
En 1969, il revient définitivement à Anderlecht. Après deux ans de présence au sein du club, il reprend la présidence et la garde durant 25 ans.
Durant cette période (1971-1996), les « Mauve et Blanc » décrochent dix titres de champions et sept Coupes de Belgique, gagne à deux reprises la Coupe des vainqueurs de Coupe (1976, 1978) et une fois la Coupe de l'UEFA (1983) ainsi que deux SuperCoupes européennes (1976 et 1978).
Constant Vanden Stock a transmis le flambeau à son fils Roger en 1996.
Il fut également membre du Comité sportif et du Comité exécutif de l'Union Belge de football pendant de longues années.
Condoléances